Curva di Seiberg-Witten per teorie di Yang-Mills duali a sistemi di brane frazionarie
Autore
Giuseppe Bonetti - Università degli Studi di Milano - Bicocca - [2001-02]
Documenti
Abstract
Negli ultimi anni è stata formulata una nuova teoria: essa descrive gli oggetti fondamentali della realtà fisica non come puntiformi, ma estesi in una dimensione e viventi in spazi dieci-dimensionali. Questa teoria delle stringhe (e superstringhe, includendo l’algebra di supersimmetria) dovrebbe riuscire a coniugare in modo naturale la teoria quantistica dei campi e la relatività einsteniana.
Un’interessante strada che si sta percorrendo è la ricerca di dualità, ovvero corrispondenze tra le teorie di stringa e quelle di campo. Un progresso in tal senso è costituito dal lavoro di Maldacena del 1997: è stato congetturato che una teoria di Yang-Mills conforme, con quattro supercariche, in quattro dimensioni, è equivalente ad una teoria di stringa, di tipo IIB, compattificata su AdS_5×S^5. Questo è il primo esempio di come una teoria di gauge possa essere ottenuta a partire da una teoria di stringa.
Ciò che si vuole fare ora è estendere la congettura di Maldacena per ottenere nuove equivalenze tra teorie di stringa e teorie di gauge non conformi e con meno supersimmetrie: il nostro lavoro si inserisce proprio all’interno di queste ricerche.
Per realizzare le dualità si ricorre ad oggetti quali le D-brane, ipersuperfici dinamiche della teoria sulle quali vivono gli estremi delle stringhe, e a determinate disposizioni spaziali delle stesse. Noi abbiamo studiato una particolare configurazione di brane, in una teoria di stringa supersimmetrica N = 2, compattificata su un toro, con identificazione dei punti sotto simmetria Z_2 (orbifold). La costruzione dell’orbifold implica che, in realtà, ogni brana fisica sia costituita da una brana frazionaria e dalla propria immagine antifrazionaria.
Abbiamo, quindi, cercato la curva di Seiberg-Witten (una soluzione della teoria) per la teoria di gauge conforme duale a tale sistema: SU(n) × SU(n) × U(1) con uguali costanti d’accoppiamento per i due gruppi SU(n).
La forma della curva era già nota ma è stato nostro lavoro determinarla nel dettaglio. Si sono utilizzate, per questo, numerose tecniche di geometria algebrica, che ci hanno permesso di studiare il comportamento di funzioni meromorfe su un toro (necessarie per la costruzione della curva) attraverso le loro corrispondenti su un reticolo del piano complesso.
Approfondendo ulteriormente questi metodi matematici si è generalizzato il risultato al caso in cui i due gruppi SU(n) abbiano costanti d’accoppiamento diverse. Tale generalizzazione è stata poi allargata al recente risultato riguardante le prime correzioni istantoniche alla curva di Seiberg-Witten studiata, completando così un quadro di risultati originali.
La configurazione delle brane è stata poi modificata per ottenere delle teorie non conformi SU(N) × SU(N + M) a basse energie. Questi background sono tipicamente affetti da singolarità infrarosse, ma, come abbiamo mostrato nel nostro lavoro, anche tali diffcoltà sono automaticamente risolte dal fenomeno, già largamente studiato in letteratura, dell’enhançon: si è visto che, inserendo una brana-sonda frazionaria, questa non raggiunge mai la singolarità.
Un’interessante strada che si sta percorrendo è la ricerca di dualità, ovvero corrispondenze tra le teorie di stringa e quelle di campo. Un progresso in tal senso è costituito dal lavoro di Maldacena del 1997: è stato congetturato che una teoria di Yang-Mills conforme, con quattro supercariche, in quattro dimensioni, è equivalente ad una teoria di stringa, di tipo IIB, compattificata su AdS_5×S^5. Questo è il primo esempio di come una teoria di gauge possa essere ottenuta a partire da una teoria di stringa.
Ciò che si vuole fare ora è estendere la congettura di Maldacena per ottenere nuove equivalenze tra teorie di stringa e teorie di gauge non conformi e con meno supersimmetrie: il nostro lavoro si inserisce proprio all’interno di queste ricerche.
Per realizzare le dualità si ricorre ad oggetti quali le D-brane, ipersuperfici dinamiche della teoria sulle quali vivono gli estremi delle stringhe, e a determinate disposizioni spaziali delle stesse. Noi abbiamo studiato una particolare configurazione di brane, in una teoria di stringa supersimmetrica N = 2, compattificata su un toro, con identificazione dei punti sotto simmetria Z_2 (orbifold). La costruzione dell’orbifold implica che, in realtà, ogni brana fisica sia costituita da una brana frazionaria e dalla propria immagine antifrazionaria.
Abbiamo, quindi, cercato la curva di Seiberg-Witten (una soluzione della teoria) per la teoria di gauge conforme duale a tale sistema: SU(n) × SU(n) × U(1) con uguali costanti d’accoppiamento per i due gruppi SU(n).
La forma della curva era già nota ma è stato nostro lavoro determinarla nel dettaglio. Si sono utilizzate, per questo, numerose tecniche di geometria algebrica, che ci hanno permesso di studiare il comportamento di funzioni meromorfe su un toro (necessarie per la costruzione della curva) attraverso le loro corrispondenti su un reticolo del piano complesso.
Approfondendo ulteriormente questi metodi matematici si è generalizzato il risultato al caso in cui i due gruppi SU(n) abbiano costanti d’accoppiamento diverse. Tale generalizzazione è stata poi allargata al recente risultato riguardante le prime correzioni istantoniche alla curva di Seiberg-Witten studiata, completando così un quadro di risultati originali.
La configurazione delle brane è stata poi modificata per ottenere delle teorie non conformi SU(N) × SU(N + M) a basse energie. Questi background sono tipicamente affetti da singolarità infrarosse, ma, come abbiamo mostrato nel nostro lavoro, anche tali diffcoltà sono automaticamente risolte dal fenomeno, già largamente studiato in letteratura, dell’enhançon: si è visto che, inserendo una brana-sonda frazionaria, questa non raggiunge mai la singolarità.
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